Question

13．設函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）的周期為π．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）說明函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，通過三角函數(shù)的周期求解ω，利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間求解即可
（Ⅱ）法一：把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，然后再把函數(shù)圖象上的點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，把函數(shù)的圖象上的點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變推出結果；
法二：把y=sinx的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），然后再將所得函數(shù)的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，在把圖象上的點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），求出結果即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sinωx+\sqrt{3}cosωx$=$2（\frac{1}{2}sinωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosωx）$=$2sin（ωx+\frac{π}{3}）$∴$T=\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$…3分
∵$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z∴$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$
故f（x）的單調遞增區(qū)間：$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$k∈Z…5分
（Ⅱ）法一：把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到$y=sin（x+\frac{π}{3}）$的圖象；
再把$y=sin（x+\frac{π}{3}）$的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象；
最后把$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象上的點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），即可得到$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象． …9分（不對酌情給分）
法二：把y=sinx的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到y(tǒng)=sin2x的圖象；
再將y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象；
最后把$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象上的點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），即可得到$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象．…9分（不對酌情給分）

點評 本題考查三角函數(shù)的圖形的變換，正弦函數(shù)的單調性的求法，考查轉化思想以及計算能力．