Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（Ⅰ） 若點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（2，$\sqrt{3}$），直線l與曲線C₁交于A、B兩點(diǎn)，求|MA|+|MB|的值．
（Ⅱ）設(shè)曲線C₁經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x\\ y'=\frac{1}{2}y\end{array}\right.$得到曲線C₂，求曲線C₂的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得曲線C的直角坐標(biāo)方程，把直線l代入圓的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)后利用韋達(dá)定理可求t₁+t₂，t₁t₂的值，由|MA|+|MB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可求得|MA|+|MB|的值；
（Ⅱ）設(shè)矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x′，y′），則根據(jù)x′，y′的關(guān)系消元得出P關(guān)于x（或y）的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出此函數(shù)的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=4，
直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，轉(zhuǎn)化成普通方程為：y-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
將直線l的參數(shù)方程帶入圓的直角坐標(biāo)方程x²+y²=4，
整理得：t²+5t+3=0，
△＞0，故t₁，t₂是方程的兩個(gè)根，
∴t₁+t₂=-5，t₁•t₂=3，
|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=5；
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}x′}\\{y=2y′}\end{array}\right.$代入曲線C的方程得：$\frac{x{′}^{2}}{3}+y{′}^{2}=1$，
設(shè)曲線C′的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)為P，
曲線C′的內(nèi)接矩形的第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)為N（x′，y′）（0＜x＜$\sqrt{3}$，0＜y＜1），
x′²+3y′²=3，x′=$\sqrt{3-3y{′}^{2}}$，
P=4x′+4y′=4$\sqrt{3-3y{′}^{2}}$+4y′，
令f（y）=4$\sqrt{3-3y{′}^{2}}$+4y′，
f′（y）=$\frac{-12y′}{\sqrt{3-3y{′}^{2}}}$+4，
令f′（y′）=0得y=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)0＜y′＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（y′）＞0，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜y＜1時(shí)，f′（y′）＜0．
∴當(dāng)y′=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（y）取得最大8．
曲線C′的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．．