Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-b，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$
（1）若方程f（x）=4有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若f（f（$\frac{5}{6}$））=4，求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)x討論，當(dāng)x＜1時(shí)，有3x-b=4，解得x；當(dāng)x≥1時(shí)，2^x=4，解得x．由題意可得b的不等式，即可得到b的范圍；
（2）先求f（$\frac{5}{6}$），再討論b≤$\frac{3}{2}$，b＞$\frac{3}{2}$，可得b的方程，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和一次方程的解法，即可得到所求b的值．

解答 解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=4即為3x-b=4，
解得x=$\frac{4+b}{3}$；
當(dāng)x≥1時(shí)，2^x=4，解得x=2．
由題意可得$\frac{4+b}{3}$＜1，可得b＜-1，
則b的取值范圍是（-∞，-1）；
（2）f（$\frac{5}{6}$）=$\frac{5}{2}$-b，
若$\frac{5}{2}$-b≥1，即b≤$\frac{3}{2}$，可得
f（f（$\frac{5}{6}$））=f（$\frac{5}{2}$-b）=2${\;}^{\frac{5}{2}-b}$=4，
即$\frac{5}{2}$-b=2，解得b=$\frac{1}{2}$成立；
若$\frac{5}{2}$-b＜1，即b＞$\frac{3}{2}$，可得
f（f（$\frac{5}{6}$））=f（$\frac{5}{2}$-b）=3（$\frac{5}{2}$-b）-b=4，
解得b=$\frac{7}{8}$＜$\frac{3}{2}$．
綜上可得，b=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用：解方程，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，考查指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和不等式解法，屬于中檔題．