Question

13．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x）（a＞0），且a≠1）
（I）若a=2時，求f（x）的單調區(qū)間
（2）設x∈[2，8]時，f（x）的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，f（x）=1+$\frac{3}{2}$log₂x+$\frac{1}{2}$（log₂x）²，令t=log₂x，根據二次函數的性質即可求得f（x）的單調區(qū)間；
（2）由題設條件，推導出=$\frac{1}{2}$（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，設t=log_ax，則f（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，利用二次函數的性質能求出結果．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=$\frac{1}{2}$log₂2x•log₂4x=$\frac{1}{2}$（1+log₂x）（2+log₂x）=1+$\frac{3}{2}$log₂x+$\frac{1}{2}$（log₂x）²，（x＞0）
設t=log₂x，f（t）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，
由二次函數性質可知，當t∈（-∞，-$\frac{3}{2}$），函數單調遞減，當t∈（$\frac{3}{2}$，+∞）時，函數單調遞增，
∴當log₂x=-$\frac{3}{2}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間（-∞，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），單調遞減區(qū)間為（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，+∞）；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x），
=$\frac{1}{2}$（1+log_ax）（2+log_ax），
=1+$\frac{3}{2}$log_ax+$\frac{1}{2}$（log_ax）²，
=$\frac{1}{2}$（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
令t=log_ax，
則f（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
x∈[2，8]時，f（x）的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{8}$，
∴l(xiāng)og_a8≤log_a8≤log_ax＜0，
0＜a＜1，log_a8≤t≤log_ax，
∴當x=8時f（x）取最大值f（8）=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=1，
解得：log_a8=-3或log_a8=0（舍），
∴a=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查對數的運算性質，一元二次函數的性質，考查換元法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．