Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-a，x≤1\\-x+a，x＞1\end{array}\right.$，則“函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)”成立的充分不必要條件是a∈（　�。�

• A． （0，2]
• B． （1，2]
• C． （1，2）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 x=1時(shí)，f（1）=2-a＞0，解得a＜2．x＞1時(shí)，f（x）=-x+a，此時(shí)函數(shù)f（x）一定有零點(diǎn)．x＜1時(shí)，f（x）=2^x-a，由存在x，使得2^x-a≤0，則a≥（2^x）_min，可得a＞0．“函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)”成立的充要條件是a∈（0，2）．進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：x=1時(shí)，f（1）=2-a＞0，解得a＜2．
x＞1時(shí)，f（x）=-x+a，此時(shí)函數(shù)f（x）一定有零點(diǎn)．
x＜1時(shí)，f（x）=2^x-a，由存在x，使得2^x-a≤0，則a≥（2^x）_min，∴a＞0．
∴“函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)”成立的充要條件是a∈（0，2）．
∴“函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)”成立的充分不必要條件是a∈（1，2）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．