Question

7．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足S_n-2a_n=n-4．
（1）證明{S_n-n+2}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n，比較T_n與2ⁿ⁺²-5n的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]，即可證明，
（2）利用分組求和求出T_n，再利用作差法比較大小即可

解答 解：（1）證明：注意到n=1時(shí)，S₁-1+2=4，
n≥2時(shí)原式轉(zhuǎn)化為：S_n=2（S_n-S_n-1）=n-4，即S_n=2S_n-1-n+4，
所以S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]，
所以{S_n-n+2}為首項(xiàng)為4，公比為2等比數(shù)列．
（2）由（1）知：S_n-n+2=2ⁿ⁺¹，所以S_n=2ⁿ⁺¹+n-2，
于是T_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+（1+2+…+n）-2n
=$\frac{{4（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{n（n+1）}{2}-2n$=$\frac{{{2^{n+3}}+{n^2}-3n-8}}{2}$．
所以${T_n}-{2^{n+2}}+5n$=$\frac{{{2^{n+3}}+{n^2}-3n-8}}{2}-{2^{n+2}}+5n$=$\frac{1}{2}（n-1）（n+8）$，
因?yàn)閚≥1，所以${T_n}-{2^{n+2}}+5n≥0$即${T_n}≥{2^{n+2}}-5n$，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的求和與等比關(guān)系的確定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，并熟練掌握數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．