Question

16．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0\;，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若雙曲線上存在一點(diǎn)P使asin∠PF₂F₁=csin∠PF₁F₂，則該雙曲線的離心率的取值范圍是$（1\;，\;1+\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 利用正弦定理及雙曲線的定義，可得a，c的不等式，即可求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：不妨設(shè)P在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，
由正弦定理可得c•PF₂=a•PF₁，且PF₁-PF₂=2a，
聯(lián)立可得PF₂=$\frac{2{a}^{2}}{c-a}$＞0，即得c-a＞0，即e＞1，…①
又PF₂＞c-a，
∴PF₂=$\frac{2{a}^{2}}{c-a}$≥c-a，化簡可得c²-2ac-a²≤0，即e²-2e-10，得1-$\sqrt{2}$＜e≤1+$\sqrt{2}$…②
由①②可得e∈$（1\;，\;1+\sqrt{2}]$．
故答案為：$（1\;，\;1+\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍，考查正弦定理及雙曲線的定義，屬于中檔題．