Question

6．已知圓O：x²+y²=r²（r＞0），直線l：y=x+1．若圓O上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離是1，則r的取值范圍是1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$＜r＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合原點(diǎn)O到直線l：y=x+1的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，數(shù)形結(jié)合可得滿足條件的r的取值范圍．

解答 解：如圖，

∵原點(diǎn)O到直線l：y=x+1的距離d=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴以O(shè)為圓心，以$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$為半徑的圓上僅有一點(diǎn)A到直線l的距離為1，
當(dāng)圓的半徑r$＞1-\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，開(kāi)始有兩點(diǎn)滿足到直線l的距離為1，
到半徑增大到為1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，除直線l的右下方有兩點(diǎn)滿足條件外，左上方的B點(diǎn)也滿足到直線l的距離為1．
∴r的取值范圍是1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$＜r＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$＜r＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．