已知函數(shù)，其中.
(1)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào)遞增？若存在，求出的值或取值范圍；否則，請說明理由．
(2)若a<0，且函數(shù)y＝f(x)的極小值為，求函數(shù)的極大值。

(1)存在a＝；（2）.

解析試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)遞增滿足的條件；（2）先求出函數(shù)的兩個極值點，根據(jù)a<0確定極大值與極小值點，由函數(shù)的極小值求得，再求出極大值.
(1)∵，
∴．
由可得≥0.即在x∈R時恒成立．
∴Δ＝(a＋2)2－4(－2a2＋4a)≤0，即(3a－2)2≤0，即a＝，此時，f′(x)＝(x＋)2ex≥0，函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞增．(2)由f′(x)＝0可得ex[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]＝0，解之得x1＝－2a，x2＝a－2.
當a<0時，－2a>a－2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下：

x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
 
由條件可知，f(－2a)＝－e，即3a·e－2a＝－e，可得a＝－.
此時，f(x)＝(x2－x－2)ex，極大值為f(a－2)＝f(－)＝.
考點：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知．
若曲線在處的切線與直線平行，求a的值；
當時，求的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)．
（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；
（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點．已知A，b是實數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋Ax2＋b x的兩個極值點．
(1)求A和b的值；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．

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函數(shù)的圖象記為E.過點作曲線E的切線，這樣的切線有且僅有兩條，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2(f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：×…×<(n≥2，n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，且在點
處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，求的取值范圍；  
（3）設(shè)為兩曲線，的交點，且兩曲線在交點處的切線分別為.若取，試判斷當直線與軸圍成等腰三角形時值的個數(shù)并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性．
（2）證明：（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象切x軸于點(2，0)，求a、b的值；
(2)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率為k，試求的充要條件；
(3)若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于l，求證．

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