精英家教網(wǎng)如圖,△ABC的內切圓與三邊AB、BC、CA的切點分別為D、E、F,已知B(-
2
,0)
,C(
2
,0)
,內切圓圓心I(1,t).設A點的軌跡為L
(1)求L的方程;
(2)過點C作直線m交曲線L于不同的兩點M、N,問在x軸上是否存在一個異于點C的定點Q.使
QM
QC
|
QM
|
=
QN
QC
|
QN
|
對任意的直線m都成立?若存在,求出Q的坐標,若不存在,說明理由.
分析:(1)由切線長定理得,從一點出發(fā)的切線長相等,得到A點到兩個點B,C的距離之差是常數(shù),根據(jù)雙曲線的定義得A點的軌跡是雙曲線,從而即可求出L的方程;
(2)對于存在性問題,可先假設存在,設點Q(x0,0),再設M(x1,y1),N(x2,y2),由條件得∠MQC=∠NQC,下面分類討論:①當MN⊥x,②當MN不垂直x時,第一種情況比較簡單,對于第二種情況,將直線的方程代入雙曲線方程,消去y得到關于x的二次方程,結合根與系數(shù)的關系,利用斜率相等求得Q(
2
2
,0)
,從而說明存在點Q.
解答:解:(1)由題意|AD|=|AF|.|BD|=|BE|,|CE|=|CF|.
∴|AB|-|AC|=|BD|-|CF|=|BE|-|CE|=|BO|+|OE|-(|OC|-|OE|)=2|OE|
I(1,t),E(1,0),|OE|=1,|AB|-|AC|=2
x2-y2=1(x>1)
(2)設點Q(x0,0),設M(x1,y1),N(x2,y2
QM
QC
|
QM
|
=
QN
QC
|
QN
|
?
QM
QC
|
QM
| •|
QC
|
=
QN
QC
|
QN
| •|
QC
|
?cos<
QM
,
QC
=cos<
QN
,
QC
?∠MQC=∠NQC
(6分)
于是:①當MN⊥x,點Q(x0,0)在x上任何一點處,都能夠使得:
∠MQC=∠NQC成立,(8分)
②當MN不垂直x時,設直線MN:y=k(x-
2
)

x2-y2=1
y=k(x-
2)
得:(1-k2)x2+2
2
k2x-(2k2+1)=0

則:x1+x2=
2
2
k2
k2-1
,x1x2=
2k2+1
k2-1

y1+y2=k(x1-
2
)+k(x2-
2
)=k(x1+x2)-2
2
k =
2
2
k
k2-1

tan∠MQC=kQM=
y1
x1-x0
tan∠NQC=-kQN=-
y2
x2-x0
要使∠MQC=∠NQC成立,
只要tan∠MQC=tan∠NQC:
y1
x1-x0 
=-
y2
x2-x0
?x2y1-x0y1+x1y2-x0y2=0
(y1+y2)x0=x2•k(x1-
2
)+x1•k(x2-
2
)
=2kx1x2-
2
k(x1+x2)=
2k
k2-1

2
2
k
k2-1
x0=
2k
k2-1
?x0=
2
2
∴當Q(
2
2
,0)
時,能夠使:
QM
QC
|
QM
|
=
QN
QC
|
QN
|
對任意的直線m成立.(15分)
點評:本題主要考查了軌跡方程、直線與圓錐曲線的交點等知識,屬于中檔題.
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60
°,PA=
3

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π
3
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x+2y
xy
的最小值是
 

(3)如圖,△ABC內接于⊙O,AB=AC,直線MN切⊙O于點C,BE∥MN交AC于點E.若AB=6,BC=4,則AE的長為
 

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3
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