Question

14．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{2}sinx•（{sinx+cosx}）-\sqrt{2}$
（1）求函數(shù)的最小正周期？
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求解函數(shù)的周期．
（2）通過x的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求解函數(shù)最值．

解答 解：（1）．f（x）=2$\sqrt{2}$sinx•（sinx+cosx）-$\sqrt{2}$
=2$\sqrt{2}$sinxcosx+2$\sqrt{2}$sin²x-$\sqrt{2}$
=$\sqrt{2}$sin2x-$\sqrt{2}$cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{4}}）≤1$，∴$-\sqrt{2}≤2sin（{2x-\frac{π}{4}}）≤2$，
所以函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為$-\sqrt{2}$．

點評 變態(tài)考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應用，考查計算能力．