Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一條漸近線的斜率相等，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線sinθ•x+cosθ•y-1=0相切（θ為常數(shù)），則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

Answer 1

分析 由題意知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一漸近線斜率值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，及其a²=b²+c²化為a²=4b²，又b=$\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1，即可得出．

解答 解：由題意知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一漸近線斜率值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，化為a²=4b²，
∵b=$\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1，
∴a²=4，b²=1．
故橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．