Question

（2013•昌平區(qū)二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，E、F分別為PC、BD的中點．
（Ⅰ） 求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求證：面PAB⊥平面PDC；
（Ⅲ） 在線段AB上是否存在點G，使得二面角C-PD-G的余弦值為

1

3

？說明理由．

Answer 1

分析：（I）證明：連接AC，則F是AC的中點，E為PC 的中點，證明EF∥PA，留言在線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD；
（II）先證明CD⊥PA，然后證明PA⊥PD．利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD，最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．
（III）假設在線段AB上，存在點G，使得二面角C-PD-G的余弦值為

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3

，然后以O為原點，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空間向量的坐標運算求出a值，即可得出結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）連結(jié)AC∩BD=F，
ABCD為正方形，F(xiàn)為AC中點，E為PC中點．
∴在△CPA中，EF∥PA…（2分）
且PA?平面PAD，EF?平面PAD∴EF∥平面PAD…（4分）
（Ⅱ）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD
ABCD為正方形，CD⊥AD，CD?平面ABCD
所以CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA…（6分）
又PA=PD=

2

2

AD，所以△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD=90°　　即PA⊥PD
CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
∴面PAB⊥面PDC．…..（9分）
（Ⅲ） 如圖，取AD的中點O，連結(jié)OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，
面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
而O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

2

AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．
以O為原點，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則有A（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1）．
若在AB上存在點G，使得二面角C-PD-G的余弦值為

1

3

，
連結(jié)PG，DG
設G（1，a，0）（0≤a≤2）．
由（Ⅱ）知平面PDC的法向量為

PA

=（1，0，-1）．
設平面PGD的法向量為

n

=（x，y，z）．
∵

DP

=（1，0，1），

GD

=（-2，-a，0），
∴由

n

•

DP

=0，

n

•

GD

=0可得

x+z=0 -2x-ay=0

，令x=1，則y=-

2

a

，z=-1，
故

n

=（1，-

2

a

，-1），
∴cos＜

n

，

PA

＞=

2

2 × 2+ 4 a2

=

1

3

，
解得，a=

1

2

．
所以，在線段AB上存在點G（1，

1

2

，0），使得二面角C-PD-G的余弦值為

1

3

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應用及二面角的平面角及求法，考查邏輯推理能力．