Question

9．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AA₁=3，BC=2，P為A₁B₁中點，M，N，Q分別為棱AB，AA₁，CC₁上的點，且AB=4MB，AA₁=3AN，CC₁=3CQ．
（Ⅰ）求證：PQ⊥平面PD₁N；
（Ⅱ）求二面角P-D₁M-N的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PQ⊥平面PD₁N．
（Ⅱ）求出平面PD₁M的法向量和平面D₁MN的法向量，利用向量法能求出二面角P-D₁M-N的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，如圖建立空間直角坐標系，
則P（2，2，3），Q（0，4，1），D₁（0，0，3），M（2，3，0），N（2，0，1），
$\overrightarrow{PQ}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=（2，0，-2），
∵$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{D}_{1}P}$=0，$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{D}_{1}N}$=0，
∴PQ⊥D₁P，PQ⊥D₁N，
∵D₁P∩D₁N=D₁，∴PQ⊥平面PD₁N．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=（2，3，-3），$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=（2，0，-2），
設(shè)平面PD₁M的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{n}=2x+3y-3z=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}P}•\overrightarrow{n}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=3，得平面PD₁M的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（3，-3，-1），
設(shè)平面D₁MN的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{m}=2a+3b-3c=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}N}•\overrightarrow{m}=2a-2c=0}\end{array}\right.$，取a=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，1，3），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{19}$，
由圖知二面角P-D₁M-N的平面角為鈍角，
∴二面角P-D₁M-N的余弦值為-$\frac{3}{19}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．