Question

19．以直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，且兩坐標系相同的長度單位．已知點N的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），M是曲線C₁：ρ=1上任意一點，點G滿足$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，設點G的軌跡為曲線C₂．
（1）求曲線C₂的直角坐標方程；
（2）若過點P（2，0）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$（t為參數(shù)），且直線l與曲線C₂交于A，B兩點，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ=1，得x²+y²=1，可得曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=1．設G（x，y），M（x₀，y₀），利用向量坐標運算可得點M的坐標用點G的坐標表示，代入曲線C₁的方程即可得出方程．
（Ⅱ） 把直線l$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的方程代入曲線C₂的直角坐標方程可得：${t^2}-（{1+\sqrt{3}}）t+1=0$．利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=1，得x²+y²=1，∴曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=1，
∵點N的直角坐標為（1，1），設G（x，y），M（x₀，y₀），又$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，即（x，y）=（x₀，y₀）+（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x-1\\{y_0}=y-1\end{array}\right.$，代入${x_0}^2+{y_0}^2=1$，得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴曲線C₂的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
（Ⅱ） 把直線l$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的方程代入曲線C₂的直角坐標方程（x-1）²+（y-1）²=1，
得${（{1-\frac{t}{2}}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{3}t}}{2}-1}）^2}=1$，即${t^2}-（{1+\sqrt{3}}）t+1=0$．
設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，則$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=1+\sqrt{3}\\{t_1}{t_2}=1\end{array}\right.$，易知t₁＞0，t₂＞0，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}||{PB}|}}=\frac{{|{t_1}|+|{t_2}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}=1+\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應用、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．