Question

4．在如圖所示的圓柱O₁O₂中，等腰梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓O₁，AB∥CD，且AB為圓O₁的直徑，EA和FC都是圓柱O₁O₂的母線，M為線段EF的中點．
（1）求證：MO₁∥平面BCF；
（2）已知BC=1，∠ABC=60°，且直線AF與平面ABC所成的角為30°，求平面MAB與平面EAD所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點N，連接FN，證明O₁M∥FN即可；
（2）以C為原點，CA、CB、CF分別為x、y、z軸建立坐標系C-xyz，求出法向量，利用向量的夾角公式求解．

解答 （1）證明：如圖，取BC的中點N，連接FN，O₁N，則O₁N平行且等于MF，
∴O₁NFM是平行四邊形，∴O₁M∥FN，
∵MO₁?平面BCF，F(xiàn)N?平面BCF，
∴MO₁∥平面BCF；

（2）在Rt△ABC中，∵BC=1，∠ABC=60°，∴AC=$\sqrt{3}$，AB=2，
∵等腰梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓O₁，AB∥CD，且AB為圓O₁的直徑，∴DC=1
直線AF與平面ABC所成的角為30°，∴∠FAC=30°，在Rt△AFC中，可得FC=1．
如圖以C為原點，CA、CB、CF分別為x、y、z軸建立坐標系C-xyz，
則A（$\sqrt{3}，0，0）$，B（0，1，0），E（$\sqrt{3}$，0，1），F(xiàn)（0，0，1），∴M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），
∵BD⊥AD，AE⊥面ABC，∴DB⊥面AED，平面ADE的法向量為$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0）；
設面ABM的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{AM}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}，0，1）$
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0，\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+z=0$，取$\overrightarrow{m}=（2，2\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，

平面MAB與平面EAD所成的角（銳角）的余弦值為|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BD}$＞|=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，

點評 本題考查了空間點、線、面的位置關(guān)系，及空間向量的應用，受雇于基礎(chǔ)題．