Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|+2|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）不等式f（x）≥1在區(qū)間（-∞，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）按照x≤1，1＜x≤2，x＞2三種情況進(jìn)行討論，去掉絕對值符號可解不等式，注意三種情況要對x的范圍取并集；
（Ⅱ）f（x）≥1即|x-2|+2|x-a|≥1，易知|x-2|≥1即x≤1或x≥3時，|x-2|+2|x-a|≥1對任意實(shí)數(shù)a恒成立，從而丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只須丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 對x∈（1，3）恒成立．按照x∈（1，2]，x∈（2，3）兩種情況討論去掉絕對值符號，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值可得a的范圍，最后取交集可得；

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=|x-2|+2|x-1|，
①當(dāng)x≤1時，f（x）=2-x+2（1-x）=-3x+4，
由f（x）＞3，得-3x+4＞3，解得x＜

1

3

，
∴x＜

1

3

；
②1＜x≤2時，f（x）=2-x+2（x-1）=x，
由f（x）＞3，得x＞3，
∴此時不等式無解；
③當(dāng)x＞2時，f（x）=x-2+2（x-1）=3x-4，
由f（x）＞3，得3x-4＞3，解得x＞

7

3

，
∴x＞

7

3

；
綜上，不等式f（x）＞3的解集為（-∞，

1

3

）∪（

7

3

，+∞）．
（Ⅱ）f（x）≥1即|x-2|+2|x-a|≥1，
當(dāng)|x-2|≥1，即x≤1或x≥3時，顯然|x-2|+2|x-a|≥1對任意實(shí)數(shù)a恒成立；
∴丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只須丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 對x∈（1，3）恒成立．
（1）若x∈（1，2]時，得2|x-a|≥x-1，即a≥

3x-1

2

，或a≤

x+1

2

，x∈（1，2]恒成立，則a≥

5

2

，或a≤1；
（2）若當(dāng)x∈（2，3）時，得2|x-a|≥3-x，即a≥

x+3

2

，或a≤

3x-3

2

對x∈（2，3）恒成立，則a≥3，或a≤

3

2

；
對（1）（2）中a的范圍取交集，得a≤1或a≥3．

點(diǎn)評：對于含有絕對值的題目，本身就是分類的，問題的提出已包含了分類的原因．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，在高考試題中占有重要的位置．