選修4-5；不等式選講
已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
（Ⅰ）
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8；
（Ⅱ）（1+
1
a
）（1+
1
b
）≥9．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題,綜合法
分析：（Ⅰ）利用基本不等式，先證明
1
ab
≥4，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）（1+
1
a
）（1+
1
b
）=
1
a
+
1
b
+
1
ab
+1，由（Ⅰ）可知
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8，即可得出結(jié)論．
解答： 證明：（Ⅰ）∵a+b=1，
∴ab≤(
a+b
2
)2=
1
4
，
∴
1
ab
≥4，∴
1
a
+
1
b
+
1
ab
=
a+b
ab
+
1
ab
=
2
ab
≥8；
（Ⅱ）（1+
1
a
）（1+
1
b
）=
1
a
+
1
b
+
1
ab
+1
由（Ⅰ）可知
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8
∴
1
a
+
1
b
+
1
ab
+1≥9，
∴（1+
1
a
）（1+
1
b
）≥9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查綜合法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，且CF=2FP．
（Ⅰ） 求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若PE=
3
AE，求二面角F-BE-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．
（1）若
CE
EP
=
3
2
，求證：EF∥平面PAB；
（2）若FE⊥PC，求二面角E-DB-C的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）當(dāng)SA=AB時(shí)，求二面角B-SC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）求函數(shù)f(x)=(x-1)0+2
x-1
+
1
3-x
的定義域；
（2）若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，求函數(shù)y=f(x+
1
4
)•f(x-
1
4
)的定義域；
（3）求函數(shù)y=
x2-x
x2-x+1
的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-2|+2|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）不等式f（x）≥1在區(qū)間（-∞，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示的多面體中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=
π
3
，AD=2．
（1）求證：平面FCB∥平面AED；
（2）若二面角A-EF-C為直二面角，求直線BC與平面AEF所成的角θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l1：5x-2y+3m（3m+1）=0和直線l2：2x+6y-3m（9m+20）=0，求：
（1）兩直線l1、l2交點(diǎn)的軌跡方程；
（2）m取何值時(shí)，直線l1與l2的交點(diǎn)到直線4x-3y-12=0的距離最短，最短距離是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知an=2nsin2
nπ
3
，n∈N*，Sn=a1+a2+…+an，則S30=
 
．

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