Question

8．已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即得單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知x=$\frac{1}{e}$為f（x）的極值點(diǎn)，按照極值點(diǎn)在區(qū)間[t，t+2]的右側(cè)、內(nèi)部、左側(cè)三種情況進(jìn)行討論，由函數(shù)的單調(diào)性即可求得其最小值；

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{e}$，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（2）由（1）知f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞），
則（ⅰ）當(dāng)0＜t＜t+2＜$\frac{1}{e}$時(shí)，t無解；
（ⅱ）當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{e}$＜t+2，即0＜t＜$\frac{1}{e}$時(shí)，
f（x）在[t，$\frac{1}{e}$]上遞減，在[$\frac{1}{e}$，t+2]上遞增，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（ⅲ）當(dāng)$\frac{1}{e}$≤t＜t+2，即t≥$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（t）=tlnt，
所以f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}，0＜t＜\frac{1}{e}}\\{tlnt，t≥\frac{1}{e}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．