Question

已知函數(shù)，g（x）=ax²+2（a+2d）x+a+4d，其中a＞0，d＞0，設(shè)x為f（x）的極小值點，x₁為g（x）的極值點，g（x₂）=g（x₃）=0，并且x₂＜x₃，將點（x，f（x）），（x₁，g（x₁），（x₂，0）（x₃，0）依次記為A，B，C，D．
（1）求x的值；
（2）若四邊形APCD為梯形且面積為1，求a，d的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極小值，求出x的值；
（2）討論滿足g′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極小值，求出x₁的值，再根據(jù)x₂，x₃是g（x）=0的兩個根求出x₂，x₃，然后分別求出A，B，C，D四個點的坐標(biāo)，由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得AB∥CD，以及四邊形APCD為梯形且面積為1建立兩個等量關(guān)系即可求得a，d的值．
解答：解：（1）f′（x）=ax²+2（a+d）x+a+2d=（x+1）（ax+a+2d），
令f′（x）=0，
由a≠0得x=-1或
∵a＞0，d＞0．
∴
當(dāng)時，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞-1時f′（x）＞0，
所以f（x）在x=-1處取極小值，即x=-1
（2）解：g（x）=ax²+（2a+4d）x+a+4d
∵a＞0，x∈R
∴g（x）在處取得極小值，即
由g（x）=0，即（ax+a+4d）（x+1）=0
∵a＞0，d＞0，x₂＜x₃
∴
∵

∴，，，D（-1，0）
由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得AB∥CD．
即a²=12d²
由四邊形ABCD的面積為1，得
即得d=1，
從而a²=12得a=，d=1
點評：本小題考查多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)極值的判定，二次函數(shù)與二次方程等基礎(chǔ)知識的綜合運用，考查用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力．