【題目】如圖,一個角形海灣AOB,AOB=2θ(常數(shù)θ為銳角).擬用長度為l(l為常數(shù))的圍網(wǎng)圍成一個養(yǎng)殖區(qū),有以下兩種方案可供選擇:

方案一 如圖1,圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)OPQ,其中=l;

方案二 如圖2,圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)OCD,其中CD=l;

(1)求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積S1 ;

(2)求證:方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積S2

(3)為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大,應選擇何種方案?并說明理由.

【答案】(1)(2)見解析(3)為使養(yǎng)殖區(qū)面積最大,應選擇方案一.

【解析】分析:(1)設,利用弧長公式得,再利用扇形的面積公式,即可求解;

(2)設,由余弦定理和基本不等式得,再利用三角形的面積公式,即可證得;

(3)由(1)(2)得,令,求得,求得函數(shù)的單調性,得,得,作出相應的選擇

詳解:解:(1)設OP=r,則l=r·2θ,即r=,

所以 S1=lr=,θ(0,).

(2)OC=a,OD=b.由余弦定理,得l2=a2+b2-2abcos2θ,所以

l2≥2ab-2abcos2θ.

所以ab≤,當且僅當a=b“=”成立.

所以SOCD=absin2θ≤,即S2=

(3) (tanθ-θ),θ(0,),.

f(θ)=tanθ-θ,則f (θ)=()-1=

θ(0,)時,f (θ)>0,所以f(θ)[0,)上單調增,所以,當θ(0,),

總有f(θ)>f(0)=0.所以>0,得S1>S2.

答:為使養(yǎng)殖區(qū)面積最大,應選擇方案一.(沒有作答扣一分)

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