Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x+1．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上的值域；
（2）設(shè)$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），f（{\frac{1}{2}α+\frac{π}{12}}）=\frac{10}{13}，f（{\frac{1}{2}β+\frac{π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由已知可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值域．
（2）由（1）及已知可求sinα，cosβ，結(jié)合范圍α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），可求cosα，sinβ，進而利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x+1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
（1）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$），∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最大值2．
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$時，f（x）取最小值-$\sqrt{3}$．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．
（2）∵f（$\frac{1}{2}α+$$\frac{π}{12}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，f（$\frac{1}{2}β$+$\frac{π}{3}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，
∴sinα=$\frac{5}{13}$，cosβ=$\frac{3}{5}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{15}{65}$$-\frac{48}{65}$=-$\frac{33}{65}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，兩角差的正弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．