Question

14．已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）求數(shù)列$\left\{{{2^{a_n}}}\right\}$的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}是公差d不為零的等差數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d=1，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$由（1）得b_n=2ⁿ，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}是公差d不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
則a₂²=a₁a₄，即有（1+d）²=1+3d，
解得d=1，
即有a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$由（1）得b_n=2ⁿ，
即數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
數(shù)列$\left\{{{2^{a_n}}}\right\}$的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的求和公式，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．