Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因為為的中點，所以．

又，因此．

因為平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以．                                                       

（Ⅱ）解：設(shè)，為上任意一點，連接．

由（Ⅰ）知平面，

則為與平面所成的角．        

在中，，

所以當(dāng)最短時，最大，

即當(dāng)時，最大．              

此時，           

因此．又，所以，

所以．                                                       

解法一：因為平面，平面，

所以平面平面．

過作于，則平面，

過作于，連接，則為二面角的平面角，

在中，，，

又是的中點，在中，，

又，

在中，，

即所求二面角的余弦值為．                                        

解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點，所以

，

，

所以．

設(shè)平面的一法向量為，

則因此

取，則，

因為，，，

所以平面，

故為平面的一法向量．

又，

所以．

因為二面角為銳角，

所以所求二面角的余弦值為．