Question

點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).給出三個(gè)結(jié)論：①;②△的周長(zhǎng)有最小值；③曲線上存在兩點(diǎn)，使得△為等腰直角三角形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

A．1                B．2                C．3                D．0

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】

試題分析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(m，)（m＞0），則y^′=-，∴f^′(m)=-，

∴過(guò)動(dòng)點(diǎn)P(m，)的切線方程為：y-=-(x-m)．

①分別令y=0，x=0，得A（2m，0），B(0，)．

則|PA|=，|PB|=，∴|PA|=|PB|，故①正確；

②由上面可知：△OAB的周長(zhǎng)=2m++2≥2×2+2=4+2，當(dāng)且僅當(dāng)m=，即m=1時(shí)取等號(hào)．故△OAB的周長(zhǎng)有最小值4+2，即②正確．

③假設(shè)曲線C上存在兩點(diǎn)M(a，)，N(b，)，不妨設(shè)0＜a＜b，∠OMN=90°．

則|ON|=|OM|，，

所以

化為，解得，故假設(shè)成立．因此③正確．

故選C。

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．較難。