Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\frac{cosA}{cosB+cosC}$=$\frac{a}{b+c}$，則$\sqrt{3}$cosC-2sinB的最小值為-1．

Answer 1

分析 利用余弦定理化簡已知等式可求b²+c²-a²=bc，進而利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-B，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$\sqrt{3}$cosC-2sinB=-sin（B+$\frac{π}{3}$），進而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求最小值．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{cosA}{cosB+cosC}$=$\frac{a}{b+c}$，
∴$\frac{\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}+\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}}$=$\frac{a}{b+c}$，整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-B，
∴$\sqrt{3}$cosC-2sinB=$\sqrt{3}$cos（$\frac{2π}{3}$-B）-2sinB=-$\frac{1}{2}$sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=-sin（B+$\frac{π}{3}$）≥-1，當(dāng)B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時等號成立，
即當(dāng)B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{2}$時，$\sqrt{3}$cosC-2sinB的最小值為-1．
故答案為：-1．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．