Question

11．如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么稱f（x）為“倍增函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=ln（e^x+m）為“倍增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\frac{1}{4}，+∞）$
• B． $（-\frac{1}{2}，0）$
• C． （-1，0）
• D． $（-\frac{1}{4}，0）$

Answer 1

分析 由題意，函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域且是增函數(shù)；可得 $\left\{\begin{array}{l}{ln{（e}^{a}+m）=2a}\\{ln{（e}^+m）=2b}\end{array}\right.$，可以轉(zhuǎn)化為方程e^2x-e^x-m=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0的問(wèn)題，從而求出t的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+m）為“倍增函數(shù)”，
且滿足存在[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，
∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{ln{（e}^{a}+m）=2a}\\{ln{（e}^+m）=2b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m{=e}^{2a}{-e}^{a}}\\{m{=e}^{2b}{-e}^}\end{array}\right.$；
∴方程e^2x-e^x-m=0可化為
y²-y-m=0（其中y=e^x），
∴該方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0；
即 $\left\{\begin{array}{l}{1+4m＞0}\\{-m＞0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{4}$＜m＜0；
∴滿足條件的m的范圍是（-$\frac{1}{4}$，0）；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的值域問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有不同二交點(diǎn)，利用方程解決，是中檔題．