Question

15．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$．

（1）求函數(shù)的定義域并判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）證明函數(shù)f（x）在（0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)、在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，并求出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值；
（3）畫出函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$在定義域上的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式可得函數(shù)的定義域，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義可得它為奇函數(shù)．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（3）根據(jù)函數(shù)的解析式，作出它的圖象．

解答 解：（1）對于函數(shù)函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，顯然，它的定義域（-∞，0）∪（0，+∞）．
再根據(jù)f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）在定義域內(nèi)恒成立，可得它為奇函數(shù)．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由題設(shè)可得 x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，
∴（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
設(shè)1≤x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由題設(shè)可得 x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞0，
∴（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$）＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數(shù)f（x）在在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$在定義域上的圖象如圖所示：

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，函數(shù)的圖象，屬于中檔題．