Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+lnx+(a-4)x在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)g(x)=|ex-a|+

a2

2

，x∈[0，ln3]，求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）知道函數(shù)是增函數(shù)，求參數(shù)范圍，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，用分離參數(shù)求最值解決．
（2）為含有參數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是去絕對(duì)值，需考慮e^x-a的正負(fù)問(wèn)題，進(jìn)行討論．
去絕對(duì)值后轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一次函數(shù)，利用單調(diào)性求最值即可．

解答：解：（1）f′(x)=x+

1

x

+a-4，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．
∴a≥4-(x+

1

x

)恒成立，
∵x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴4-(x+

1

x

)＜2，∴a≥2；
（2）設(shè)t=e^x，則h(t)=|t-a|+

a2

2

，
∵0≤x≤ln3，∴1≤t≤3．
當(dāng)2≤a≤3時(shí)，h(t)=

-t+a+ a2 2 ，1≤t＜a t-a+ a2 2 ，a≤t≤3

，
∴h（t）的最小值為h(a)=

a2

2

，
當(dāng)a＞3時(shí)，h(t)=-t+a+

a2

2

，
∴h（t）的最小值為h(3)=a-3+

a2

2

．
綜上所述，當(dāng)2≤a≤3時(shí)，g（x）的最小值為

a2

2

，
當(dāng)a＞3時(shí)，g（x）的最小值為a-3+

a2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍、求函數(shù)的最值、分類討論思想等，綜合性較強(qiáng)．