Question

16．設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，坐標分別是（-2，0）、（2，0），橢圓離心率為60°角的正弦值
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值和最小值；
（3）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓焦點及離心率求得焦點在x軸的橢圓標準方程．
（2）運用數(shù)量積的坐標運算，及函數(shù)思想，求得最值．
（3）運用設而不求法及數(shù)量積為負，求得直線l的斜率取值范圍．

解答 解：（1）由題知橢圓焦點在x軸，故設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
橢圓離心率為60°角的正弦值，
∴$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$
又c=2，且b²=a²-c²，
∴a²=$\frac{16}{3}$，$^{2}=\frac{4}{3}$
∴橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{3}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$
（2）設橢圓上動點P（m，n），則${n}^{2}=\frac{4}{3}-\frac{{m}^{2}}{4}$
$\overrightarrow{P{F}_{1}}=（-2-m，-n）$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}=（2-m，-n）$
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-m）（2-m）+n²=$\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{8}{3}$
∵${m}^{2}∈[0，\frac{16}{3}]$
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}∈$$[-\frac{8}{3}，\frac{4}{3}]$
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值為$\frac{4}{3}$，最小值為$-\frac{8}{3}$．
（3）由題知斜率不存在時，不符合題意．
故設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為y=kx+2，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{3}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（3+12k²）x²+48kx+32=0
△＞0，得${k}^{2}＞\frac{1}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-48k}{3+12{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{32}{3+12{k}^{2}}$
∠AOB為銳角，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$\frac{32（1+{k}^{2}）}{3+12{k}^{2}}$$-\frac{96{k}^{2}}{3+12{k}^{2}}$+4           
∴$\frac{32（1+{k}^{2}）}{3+12{k}^{2}}$$-\frac{96{k}^{2}}{3+12{k}^{2}}$+4＞0
化簡得：11-4k²＞0 即${k}^{2}＜\frac{11}{4}$
∴$\frac{1}{2}＜{k}^{2}＜\frac{11}{4}$
故直線l的斜率k的取值范圍為$-\frac{\sqrt{11}}{2}＜k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}＜k＜\frac{\sqrt{11}}{2}$．

點評 考查橢圓標準方程求解，橢圓中的函數(shù)思想，橢圓中的設而不求法．考查劃歸思想處理角為銳角．難度不大，屬于中檔題．