Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）在(

1

2

，2)單調(diào)時(shí)，求a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值的充要條件．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=3代入到f（x）中，求出導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)x的值為1得到函數(shù)的最大值為f（1），然后判斷f（

1

2

）和f（2）誰(shuí)小誰(shuí)為最小值即可；
（2）求出f′（x）=a-（2x+

1

x

），然后令g（x）=2x+

1

x

，利用g′（x）討論得到x∈(

1

2

，2)時(shí)，g（x）的最大和最小值得到g（x）的值域，要使f（x）在(

1

2

，2)單調(diào)，即要a大于最大值或a小于最小值即可得到a的范圍；
（3））若f（x）既有極大值又有極小值，首先必須f'（x）=0有兩個(gè)不同正根，即2x²-ax+1=0有兩個(gè)不同正根，即可得到根的判別式大于0且兩根之和大于0，求出a的范圍得到必要性；然后證明充分性：由a的范圍得到f'（x）=0有兩個(gè)不等的正根，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)既有極大值又有極小值．所以得到函數(shù)既有極大值又有極小值的充分必要條件．

解答：解：（1）a=3時(shí)，f′(x)=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

=-

(2x-1)(x-1)

x

，
函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

2

，2)僅有極大值點(diǎn)x=1，故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，
故函數(shù)在[

1

2

，2]最大值是f（1）=2，
又f(2)-f(

1

2

)=(2-ln2)-(

5

4

+ln2)=

3

4

-2ln2＜0，故f(2)＜f(

1

2

)，
故函數(shù)在[

1

2

，2]上的最小值為f（2）=2-ln2．
（2）f′(x)=-2x+a-

1

x

，令g(x)=2x+

1

x

，則g′(x)=2-

1

x2

，
則函數(shù)在(

1

2

，

2

2

)遞減，在(

2

2

，2)遞增，由g(

1

2

)=3，g(2)=

9

2

，g(

2

2

)=2

2

，
故函數(shù)g（x）在(

1

2

，2)的值域?yàn)?span id="zgkxveb" class="MathJye">[2

2

，

9

2

)．
若f'（x）≤0在(

1

2

，2)恒成立，即a≤2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，只要a≤2

2

，
若要f'（x）≥0在(

1

2

，2)恒成立，即a≥2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，
只要a≥

9

2

．即a的取值范圍是(-∞，2

2

]∪[

9

4

，+∞)．
（3）若f（x）既有極大值又有極小值，則首先必須f'（x）=0有兩個(gè)不同正根x₁，x₂，即2x²-ax+1=0有兩個(gè)不同正根．
故a應(yīng)滿(mǎn)足

△＞0 a 2 ＞0

?

a2-8＞0 a＞0

?a＞2

2

，
∴當(dāng)a＞2

2

時(shí)，f'（x）=0有兩個(gè)不等的正根，不妨設(shè)x₁＜x₂，
由f'（x）=-

1

x

(2x2-ax+1)=-

2

x

（x-x₁）（x-x₂）知：
0＜x＜x₁時(shí)f'（x）＜0；x₁＜x＜x₂時(shí)f'（x）＞0；x＞x₂時(shí)f'（x）＜0，
∴當(dāng)a＞2

2

時(shí)f（x）既有極大值f（x₂）又有極小值f（x₁）．
反之，當(dāng)a＞2

2

時(shí)，2x²-ax+1=0有兩個(gè)不相等的正根，
故函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值的充要條件a＞2

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握充分必要條件的證明方法．會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)取極值的條件．此題是一道中檔題．