Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=

2

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x³-x²，試比較f（x）與g（x）的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，易得f'（-2）=f'（1）=0，從而解出a，b的值．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)的方法步驟，進(jìn)行求解．
（Ⅲ）比較大小，做差f（x）-g（x）=x²（e^x-1-x），構(gòu)造新函數(shù)h（x）=e^x-1-x，在定義域內(nèi)，求解h（x）與0的關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=e^x-1（2x+x²）+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），
又x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，所以f'（-2）=f'（1）=0，
因此

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

解方程組得a=-

1

3

，b=-1．
（Ⅱ）因?yàn)?span id="yqmuqiq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a=-

1

3

，b=-1，所以f'（x）=x（x+2）（e^x-1-1），
令f'（x）=0，解得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
因?yàn)楫?dāng)x∈（-∞，-2）∪（0，1）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，0）∪（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-2，0）和（1，+∞）上是單調(diào)遞增的；在（-∞，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)=x2ex-1-

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3

x3-x2，
故f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），令h（x）=e^x-1-x，則h'（x）=e^x-1-1．
令h'（x）=0，得x=1，因?yàn)閤∈（-∞，1]時(shí)，h'（x）≤0，
所以h（x）在x∈（-∞，1]上單調(diào)遞減．故x∈（-∞，1]時(shí)，h（x）≥h（1）=0；
因?yàn)閤∈[1，+∞）時(shí)，h'（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增．
故x∈[1，+∞）時(shí)，h（x）≥h（1）=0．
所以對(duì)任意x∈（-∞，+∞），恒有h（x）≥0，又x²≥0，因此f（x）-g（x）≥0，
故對(duì)任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道關(guān)于函數(shù)的綜合題，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)的方法步驟等問(wèn)題．