Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線：上運(yùn)動，過點(diǎn)與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點(diǎn)．
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過(1)中的軌跡上的定點(diǎn)作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點(diǎn)．試探究：當(dāng)直線，的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

(1) (2) 當(dāng)直線，的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，直線的斜率為定值

試題分析：(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)知, ,所以動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.易知其標(biāo)準(zhǔn)方程為.
設(shè)、，,可由點(diǎn)差法求出,
,
由直線，的傾斜角互補(bǔ)，得
定值
試題解析：(1)依題意，得                               1分
∴動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線         3分
∴動點(diǎn)的軌跡的方程為                     4分
(2)∵、，在拋物線上
∴                                          5分
由①-②得，
∴直線的斜率為                7分
同理可得，直線的斜率為                9分
∴當(dāng)直線，的傾斜角互補(bǔ)時，有
即
∴                                     11分
由②-③得，
∴直線的斜率為    ④      13分
將代入④，得
∴當(dāng)直線，的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，直線的斜率為定值    14分