Question

19．（1）求不等式|x-5|-|2x+3|≥1的解集；
（2）若正實(shí)數(shù)a，b滿足$a+b=\frac{1}{2}$，求證：$\sqrt{a}+\sqrt≤1$．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值不等式的意義，通過(guò)x的討論 去掉絕對(duì)值符號(hào)，求解不等式的解集即可．
（2）利用分析法的證明方法，推出不等式成立的充分條件即可．

解答 解：（1）當(dāng)$x≤-\frac{3}{2}$時(shí)，-x+5+2x+3≥1，解得x≤-7，∴$-7≤x≤-\frac{3}{2}$；
當(dāng)$-\frac{3}{2}＜x＜5$時(shí)，-x+5-2x-3≥1，解得$x≤\frac{1}{3}$，∴$-\frac{3}{2}＜x≤\frac{1}{3}$；
當(dāng)x≥5時(shí)，x-5-（2x+3）≥1，解得x≤-9，舍去．
綜上，$-7≤x≤\frac{1}{3}$．故原不等式的解集為$\{x|-7≤x≤\frac{1}{3}\}$．
（2）證明：要證$\sqrt{a}+\sqrt≤1$，只需證$a+b+2\sqrt{ab}≤1$，即證$2\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}$，即證$\sqrt{ab}≤\frac{1}{4}$，
而$a+b=\frac{1}{2}≥2\sqrt{ab}$，所以$\sqrt{ab}≤\frac{1}{4}$成立，所以原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，不等式的證明，考查計(jì)算能力．