Question

9．已知正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，點(diǎn)P為棱BC的中點(diǎn)，$BC=6\sqrt{2}$，過點(diǎn)P作球O的截面，則截面面積的最小值為18π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑R，過P點(diǎn)的截面到球心的最大距離，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面面積的最小值．

解答 解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示
可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，
∵正四面體ABCD的棱長為6$\sqrt{2}$，∴正方體的棱長為6．可得外接球半徑R滿足2R=6$\sqrt{3}$．
PP為棱BC的中點(diǎn)，過P作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心O的距離最大時(shí)，
截面圓的面積達(dá)最小值，此時(shí)球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，
可得截面圓的半徑為r=$\sqrt{{R}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
得到截面圓的面積最小值為S=πr²=18π．
故答案為：18π

點(diǎn)評 本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面積最小值．著重考查了正方體的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球的截面圓性質(zhì)等知識，屬于中檔題．