已知⊙O1:(x-1)2+y2=9,⊙O2x2+y2-10x+m2-2m+17=0(m∈R)
(Ⅰ)求⊙O2半徑的最大值;
(Ⅱ)當⊙O2半徑最大時,試判斷⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系;
(Ⅲ)⊙O2半徑最大時,如果⊙O1和⊙O2相交.
(1)求⊙O1和⊙O2公共弦所在直線l1的方程;
(2)設(shè)直線l1交x軸于點F,拋物線C以坐標原點O為頂點,以F為焦點,直線l2:y=k(x-3)(k≠0)與拋物線C相交于A、B兩點,證明:
OA
OB
為定值.
分析:(Ⅰ)把第二個圓的方程化為標準形式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),求得⊙O2半徑的最大值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知當⊙O2半徑最大時,⊙O1和⊙O2是半徑為3的等圓,再根據(jù)圓心距小于半徑之和可得⊙O1和⊙O2相交.
(Ⅲ)求得⊙O2半徑最大時的方程為(x-5)2+y2=9,它與⊙O1:(x-1)2+y2=9相交,將兩方程相減得公共弦所在直線l1的方程.
(2)由條件求得拋物線C:y2=12x,把y=k(x-3)(k≠0)代入y2=12x化簡,并利用韋達定理求得y1y2和x1x2的值,計算求得
OA
OB
為定值.
解答:解:(Ⅰ) x2+y2-10x+m2-2m+17=0(m∈R)可以化成(x-5)2+y2=-(m-1)2+9,
設(shè)⊙O2半徑為r,則r2=-(m-1)2+9≤9,∴r≤3,
所以⊙O2半徑的最大值為3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知當⊙O2半徑最大時,⊙O1和⊙O2是半徑為3的等圓,O2(5,0),
又∵⊙O1:(x-1)2+y2=9,∴O1(1,0),∴|O1O2|=4.
∴⊙O1和⊙O2相交.
(Ⅲ)(1)由(Ⅰ)知,⊙O2半徑最大時的方程為(x-5)2+y2=9,它與⊙O1:(x-1)2+y2=9相交,將兩方程相減得公共弦所在直線l1的方程為:x=3.
(2)由(1)知F(3,0),∵拋物線C以F(3,0)為焦點,以原點O為頂點,∴C:y2=12x.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-3)(k≠0)得:x=
y
k
+3
,將它代入y2=12x化簡得:ky2-12y-36k=0,
∴y1y2=-36.∴x1x2=
y
2
1
12
y
2
2
12
=
(y1y2)2
12×12
=9
,
OA
OB
=x1x2+y1y2=-27
,即
OA
OB
為定值.
點評:本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系的判斷,直線和圓相交的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.
練習冊系列答案
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2
-1
2
-1

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2
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2
)2+y2=(2
3
-1)2
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(Ⅱ)若軌跡C與直線y=kx+m (k≠0)相交于不同的兩點M、N,當點A(0,-1)滿足|
AM
|=|
AN
|時,求m的取值范圍.

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(Ⅰ)判斷⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系;
(Ⅱ)當⊙O2半徑最大時,(1)求⊙O1和⊙O2公共弦所在直線l1的方程;
(2)設(shè)直線l1交x軸于點F,拋物線C以坐標原點為頂點,以F為焦點,直線l2經(jīng)過(3,0)與拋物線C相交于A、B兩點,設(shè)∠AOB=α(O為坐標原點),求α最大時cosα的值.

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