在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求證：；
（2）若二面角為，求的長．
（1）證明：見解析；（2）的長為．

試題分析：（1）在中,應用余弦定理得,從而得到．
再利用⊥平面，平面
得．
由⊥平面，平面得到．
（2）建立空間直角坐標系,利用“空間向量方法”得到，解得．
試題解析：（1）證明：在中,
所以,由勾股定理知所以 ．   2分
又因為 ⊥平面，平面
所以 ．                                           4分
又因為 所以 ⊥平面，又平面
所以 ．                                           6分

（2）因為⊥平面，又由（1）知，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 .
設，則,,，,，
.            8分
設平面的法向量為，則  所以
令.所以.                    9分
又平面的法向量                    10分
所以， 解得 ．          11分
所以的長為．                           12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點，且PA∥平面QBD.

⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1

（1）證明：AB=AC
（2）設二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分別為，的中點，為底面的重心.

（1）求證：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,且滿足=== (如圖(1)),將△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,連接B、P(如圖(2)).

(1)求證: E⊥平面BEP;
(2)求直線E與平面BP所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三個向量共面，則實數(shù)λ等于________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都是2,底面正方形兩條對角線相交于O點,M是側棱PC的中點.

(1)求此正四棱錐的體積.
(2)求直線BM與側面PAB所成角θ的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為邊長為1的正三角形,側棱AA1⊥底面ABC,點D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1C1C所成的角為α,則sinα的值為(　　)
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知點A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,則||的值是______.

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