Question

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²-y²=1．
（1）過C₁的左頂點引C₁的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設(shè)斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點．若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）雙曲線C₁：

x2

1 2

-y2=1，左頂點A（-

2

2

，0），過點A與漸近線y=

2

x平行的直線方程為y=

2

x+1，由此能求出該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積．
（2）設(shè)直線PQ的方程是y=x+b，直線PQ與已知圓相切，得b²=2，由

y=x+b 2x2-y2=1

，得x²-2bx-b²-1=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能證明OP⊥OQ．

解答： （1）解：雙曲線C₁：

x2

1 2

-y2=1，左頂點A（-

2

2

，0），
漸近線方程y=±

2

x，
過點A與漸近線y=

2

x平行的直線方程為y=

2

（x+

2

2

），
即y=

2

x+1，
解方程組

y=- 2 x y= 2 x+1

，得x=-

2

4

，y=

1

2

，
∴該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積：
S=

1

2

|OA|•|y|=

1

2

×

2

2

×

1

2

=

2

8

．
（2）證明：設(shè)直線PQ的方程是y=x+b，
∵直線PQ與已知圓相切，∴

|b|

2

=1，解得b²=2，
由

y=x+b 2x2-y2=1

，得x²-2bx-b²-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=2b，x1x2=-1-b2，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b），
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2（-1-b²）+2b²+b²
=b²-2=0，
∴OP⊥OQ．

點評：本題考查三角形面積的求法，考查兩線段垂直的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．