Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，C到AB的距離大于1，AA₁=AB=2，D為BB₁的中點(diǎn)，E為AB₁上的一點(diǎn)，AE=3EB₁．
（1）求證：CD⊥DE；
（2）設(shè)二面角A₁-AC₁-B₁的正切值為

14

，求異面直線AB₁與CD的夾角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁B，記A₁B與AB₁的交點(diǎn)為F，作CG⊥AB，G為垂足，連接DG，由此利用三垂線定理，能證明DE⊥CD．
（2）由DG∥AB₁，知∠CDG為異面直線AB₁與CD的夾角或其補(bǔ)角，由此能求出異面直線AB₁與CD的夾角的大�。�

解答： （1）證明：連接A₁B，記A₁B與AB₁的交點(diǎn)為F．
作CG⊥AB，G為垂足，
因?yàn)槊?I>AA₁BB₁為正方形，故A₁B⊥AB₁，且AF=FB₁，
又AE=3EB₁，所以FE=EB₁，
又D為BB₁的中點(diǎn)，故DE∥BF，DE⊥AB₁．
由AC=BC知，G為AB中點(diǎn)．
又由底面ABC⊥面AA₁B₁B．
連接DG，則DG∥AB₁，故DE⊥DG，
由三垂線定理，得DE⊥CD．
（2）解：由（1）知因?yàn)?I>DG∥AB₁，
故∠CDG為異面直線AB₁與CD的夾角或其補(bǔ)角．
因?yàn)?I>AB=2，則AB₁=2

2

，DG=

2

．作B₁H⊥A₁C₁，H為垂足，
因?yàn)榈酌?I>A₁B₁C₁⊥面AA₁CC₁，故B₁H⊥面AA₁C₁C．
又作HK⊥AC₁，K為垂足，
連接B₁K，由三垂線定理，得B₁K⊥AC₁，
因此∠B₁KH為二面角A₁-AC₁-B₁的平面角．
由tan∠B1KH=

B1H

HK

=

14

，
取A₁B₁的中點(diǎn)G₁，連結(jié)C₁G₁，
設(shè)CG=x，則C₁G₁=CG=x，A1C1=

x2+1

，C₁G₁•A₁B₁=A₁C₁•B₁H，
∴B1H=

2x

A1C1

=

2x

x2+1

，
∴HK=

B1H

4

=

x

2 x2+1

，C1H=

B1C12-C1H2

=

x2+1- 4x2 x2+1

，
又△C₁HK∽△C₁AA₁，∴

HK

AA1

=

C1H

C1A

，

HK

2

=

C1H

x2+5

，
∴13x⁴-33x²+14=0，解得x=

2

，或x=

7 13

（舍）
∴CG=

2

，tan∠CGD=1，∴∠CDG=45°，
∴異面直線AB₁與CD的夾角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線AB₁與CD的夾角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．