Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA₁=3．D是線段BC的中點．
（1）求直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（2）求二面角B₁-A₁D-C₁的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）分別以AB、AC、AA₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．
（2）求出平面B₁A₁D的法向量和平面B₁A₁D的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-A₁D-C₁的大小的余弦值．

解答 解：（1）因為在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC
所以分別以AB、AC、AA₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，3），B₁（2，0，3），C₁（0，4，3），
因為D是BC的中點，所以D（1，2，0），…（2分）
因為$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（0，4，0），\overrightarrow{{A_1}D}=（1，2，-3）$，設平面A₁C₁D的法向量$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{{A_1}D}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4{y_1}=0\\{x_1}+2{y_1}-3{z_1}=0\end{array}\right.$，取$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=3\\{y_1}=0\\{z_1}=1\end{array}\right.$，
所以平面A₁C₁D的法向量$\overrightarrow{n_1}=（3，0，1）$，而$\overrightarrow{D{B_1}}=（1，-2，3）$，
所以$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{D{B_1}}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{D{B_1}}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{D{B_1}}}|}}=\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$，
所以直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值為$\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$；…（5分）
（2）$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{D{B_1}}=（1，-2，3）$，
設平面B₁A₁D的法向量$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{D{B_1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2{x_2}=0\\{x_2}-2{y_2}+3{z_2}=0\end{array}\right.$，
取$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=0\\{y_2}=3\\{z_2}=2\end{array}\right.$，平面B₁A₁D的法向量$\overrightarrow{n_2}=（0，3，2）$，
所以$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{130}}}{65}$，
二面角B₁-A₁D-C₁的大小的余弦值$\frac{{\sqrt{130}}}{65}$．…（10分）

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．