Question

（本題滿分16分）如圖：AD=2,AB=4的長方形所在平面與正所在平面互相垂直，分別為的中點(diǎn)．

（1）求四棱錐-的體積；
（2）求證：平面；
（3）試問：在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) ；(2)連交于,連則為中點(diǎn),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003604748399.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn),所以,又,,則.    
(3)當(dāng)BN=時(shí),平面.   

試題分析：(1)解:正中,Q為的中點(diǎn)故
由.
長為到平面的距離.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003605200486.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
所以,      
(2)證明:連交于,連則為中點(diǎn),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003604748399.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn),
所以,     又,,則.    
(3)當(dāng)BN=時(shí),平面. 
證明如下:由(1)證明知,又,則
又因?yàn)殚L方形中由相似三角形得,則
  又 所以,平面. 
點(diǎn)評：空間問題中的線面關(guān)系的證明主要是應(yīng)用線面平行與垂直的判定定理或性質(zhì)，具體問題中要是能夠根據(jù)題意適當(dāng)做輔助線；求簡單幾何體的體積問題關(guān)鍵是能夠應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，將所求幾何體的體積轉(zhuǎn)化為易于求解底面積和高的幾何體的體積，注意對等積法的應(yīng)用.