Question

定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)M到定圓C的圓周上任意一點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)M到定圓C的“美好距離”，若定圓P的方程：x²+y²+2x-3=0，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)F到定點(diǎn)A的距離等于F到定圓P的美好距離，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡可能為：①橢圓②圓③雙曲線的一支④直線⑤拋物線，其中可能的序號(hào)是

 

（寫出所有可能的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知圓P的方程求出圓心和半徑，畫出圖形，分定點(diǎn)A與圓心P重合、在圓內(nèi)、圓上和圓外四種情況討論動(dòng)點(diǎn)F的軌跡情況．

解答： 解：由定圓P的方程：x²+y²+2x-3=0，得（x+1）²+y²=4，
∴圓P的圓心為（-1，0），半徑為2，
如圖：

當(dāng)定點(diǎn)A與定圓圓心P重合時(shí)，軌跡是圓，
圓心為P，半徑為圓P半徑的一半；
定點(diǎn)A與定圓圓心P不重合時(shí)，不妨把定點(diǎn)看作在x軸正半軸上，
圓P半徑為2，A（a，0），動(dòng)點(diǎn)F（x，y），
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，
∵|FA|等于F到圓P的距離，
∴以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與圓P相內(nèi)切，
∴FP=2-FA，
∴FA+FP=2．
所求軌跡為以A，P為焦點(diǎn)的橢圓；
當(dāng)a=2時(shí)，A在圓P上，即A（2，0），
此時(shí)，所求軌跡為y=0（x≥0），為射線；
當(dāng)a＞2時(shí)，
∵|FA|等于F到圓P的距離，
∴以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與圓P相外切，
∴FP=2+FA，
∴FP-FA=2．
所求軌跡為雙曲線的一支．
綜上，動(dòng)點(diǎn)F的軌跡可能為①橢圓、②圓、③雙曲線的一支．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了圓錐曲線的基本概念，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，是中檔題．