Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a
（Ⅰ）若在x=-1處有極值，求a的值及f（x）單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）如果對任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)在x=-1處有極值，我們易根據(jù)導(dǎo)函數(shù)數(shù)值此時為0，構(gòu)造一個關(guān)于a的方程，解方程求出a值后，在分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)值的符號，即可求出f（x）單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，只須（x-3）（x+a）＞0在x∈[1，2]上恒成立結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，我們即可求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：f′（x）=x²+（a-3）x+a²-3a
（Ⅰ）∵在x=-1處有極值，
∴f′（-1）=（-1）²+（a-3）（-1）+a²-3a=0
解得：a=2
此時f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）≥0，則x≥2或x≤-1；令f′（x）≤0，則-1≤x≤2
∴f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上單調(diào)遞增，在[-1，2]上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）∵f′（x）-a²=x²+（a-3）x-3a=（x-3）（x+a）
∴要使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立
只須（x-3）（x+a）＞0在x∈[1，2]上恒成立
令g（x）=（x-3）（x+a），則g（x）的圖象恒過點（3，0），（-a，0）且開口向上
要使得g（x）＞0的x∈[1，2]恒成立，只須-a＞2?a＜-2即可．
∴要使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²，則a的取值范圍是a∈（-∞，-2）

點評：本題考查的知識是函數(shù)在某點取得極值的條件，函數(shù)恒成立問題，及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．