Question

設(shè)f（x）=且a≠1），函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x-y=0對稱．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式及定義域；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程在[2，6]上有實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍；
（3）當(dāng)a=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，說明函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=f（x）互為反函數(shù)．可以根據(jù)函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式解出x=f^-1（y），再將xy互換，可得函數(shù)y=g（x）的解析式，根據(jù)真數(shù)大于0，得出其定義域；
（2）根據(jù)（1）的表達(dá)式，可以將原方程轉(zhuǎn)化為：，在x∈[2，6]時(shí)有解．將此等式整理，得t=（x-1）²（7-x），利用求導(dǎo)數(shù)的方法，列表得出t關(guān)于x函數(shù)的單調(diào)性，從而得出t在x∈[2，6]時(shí)的值域，即可求出原方程有解時(shí)的t的取值范圍；
（3）結(jié)合（1）的表達(dá)式得，g（k）=，利用對數(shù)的基本性質(zhì)將不等式左邊合并化簡為，當(dāng)n≥2時(shí)不等式的左邊恒大于0，而不難得出不等式的右邊為≤0，在n≥2時(shí)恒成立．故原不等式成立．
解答：解：（1）由題意，得函數(shù)所以由f（x）=解出x，得
所以函數(shù)y=g（x）=（a＞0且a≠1）
由，得定義域?yàn)椋海?∞，-1）（1，+∞）；
（2）原方程變?yōu)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225948411775239/SYS201311012259484117752020_DA/8.png">
等價(jià)于：，x∈[2，6]
整理，得t=（x-1）²（7-x），其中2≤x≤6
求導(dǎo)可得：t′（x）=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
t′（x）	9	+		-	15
t（x）	5	增	極大值32	減	25

由表格得，當(dāng)x=5時(shí)函數(shù)t（x）取最大值32，當(dāng)x=2時(shí)，t（x）取最小值5
因?yàn)樵�方程在[2，6]上有實(shí)數(shù)解，所以t的取值范圍為：[5，32]；
（3）a=e，結(jié)合（1）得，g（k）=
所以=
==
原不等式等價(jià)于：
先看左邊，在n≥2時(shí)
注意到右邊為≤0，在n≥2時(shí)恒成立
所以左邊大于右邊，
故不等式成立
點(diǎn)評：本題考查了反函數(shù)的解析式的求法、函數(shù)與方程以及不等式的證明等知識點(diǎn)，屬于中檔題．解題過程中用到了導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和含有對數(shù)的不等式的處理，是一道綜合性較強(qiáng)的題．