Question

已知函數(shù)f（x）=

a+lnx

x

在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值及f（x）的極值；
（Ⅱ）是否存在區(qū)間（t，t+

2

3

）（t＞0），使函數(shù)f（x）在此區(qū)間上存在極值和零點？若存在，求實數(shù)t的取值范圍，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）如果對任意的x1，x2∈[e2，+∞)，有|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行求得a的值，然后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)期間，則函數(shù)的極值可求；
（Ⅱ）假設(shè)存在區(qū)間（t，t+

2

3

）（t＞0），使函數(shù)f（x）在此區(qū)間上存在極值和零點，則得到

0＜t＜1＜t+ 2 3 f(t)= 1+lnt t ＜0

，解此不等式組求得t的取值范圍；
（Ⅲ）由（I）的結(jié)論知，f（x）在[e²，+∞）上單調(diào)遞減，然后構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-

k

x

，由函數(shù)在[e²，+∞）上單調(diào)遞減，則其導(dǎo)函數(shù)在在[e²，+∞）上恒成立，由此求得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（I）由f（x）=

a+lnx

x

，得f′(x)=

1 x •x-(a+lnx)

x2

=

1-a-lnx

x2

．
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′(0)=

1-a-ln1

12

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，
f′(x)=-

lnx

x2

．
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值1，無極小值；
（Ⅱ）∵x＞1時，f(x)=

1+lnx

x

＞0，
當(dāng)x→0時，y→-∞，
由（I）得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴由零點存在原理，f（x）在區(qū)間（0，1）存在唯一零點，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，t+

2

3

），t＞0上存在極值和零點．
∴

0＜t＜1＜t+ 2 3 f(t)= 1+lnt t ＜0

，解得

1

3

＜t＜

1

e

．
∴存在符合條件的區(qū)間，實數(shù)t的取值范圍為（

1

3

，

1

t

）；
（ III）由（I）的結(jié)論知，f（x）在[e²，+∞）上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)x1＞x2≥e2，則|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，則f(x2)-f(x1)≥k(

1

x2

-

1

x1

)．
∴f(x2)-

k

x2

≥f(x1)-

k

x1

．
∴函數(shù)F（x）=f（x）-

k

x

在[e²，+∞）上單調(diào)遞減，
又F(x)=f(x)-

k

x

=

1+lnx

x

-

k

x

，
∴F′(x)=

k-lnx

x2

≤0在[e²，+∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e²，+∞）上恒成立．
在[e²，+∞）上(lnx)min=lne2=2，
k≤2．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了函數(shù)零點的判定方法，訓(xùn)練了利用恒成立問題求參數(shù)的范圍，綜合考查了學(xué)生的邏輯思維能力和計算能力，是壓軸題．