已知函數(shù)f(x)=2x3-3ax2,g(x)=3x2-6x,又函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,而在(1,+∞)單調(diào)遞增.
(1)求a的值;
(2)求M的最小值,使對(duì)?x1、x2∈[-2,2],有|f(x1)-g(x2)|≤M成立;
(3)是否存在正實(shí)數(shù)m,使得h(x)=f(x)+mg(x)在(-2,2)上既有最大值又有最小值?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),由函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,而在(1,+∞)單調(diào)遞增,得x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),即f′(1)=0,代入求解.
(2)由(1)知f(x)=2x3-3x2,g(x)=3x2-6x,利用導(dǎo)數(shù)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的值域,再由不等式同向不等式可相加,求出f(x1)-g(x2)的范圍,進(jìn)而求出|f(x1)-g(x2)|的范圍,最大值可求,即為M.
(3)寫出h(x)的解析式,求導(dǎo),得出極值點(diǎn),為滿足h(x)=f(x)+mg(x)在(-2,2)上既有最大值又有最小值,極值點(diǎn)應(yīng)在(-2,2)內(nèi),極大值應(yīng)為最大值,極小值應(yīng)為最小值,得出不等式,求解.
解答:(本小題滿分16分)
解:(1)f′(x)=6x2-6ax,
由題意知x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),即f′(1)=0,∴6-6a=0,即a=1,
此時(shí)f(x)=2x3-3x2,f′(x)=6x2-6x=6x(x-1)滿足條件,∴a=1.…(4分)
(2)由f′(x)=6x(x-1)=0得,x=0或x=1,
得f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=4,f(-2)=-28,
∴當(dāng)x1∈[-2,2]時(shí),-28≤f(x1)≤4;…(6分)
又g(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3,
∴當(dāng)x2∈[-2,2]時(shí),-3≤g(x2)≤24;…(8分)
因此,-52≤f(x1)-g(x2)≤7,∴|f(x1)-g(x2)|≤52;
∴滿足條件的M的最小值為52.…(10分)
(3)h(x)=f(x)+mg(x)=2x3+3(m-1)x2-6mx
則h′(x)=6x2+6(m-1)x-6m=6(x-1)(x+m)=0得x1=1,x2=-m;…(12分)
要使得存在正實(shí)數(shù)m,使得h(x)=f(x)+mg(x)在(-2,2)上既有最大值又有最小值,則必須-m>-2,即0<m<2,且滿足
h(1)≤h(-2)
h(-m)≥h(2)
,…(14分)
m≥1
m3+3m2-4≥0
,即
m≥1
(m-1)(m+2)2≥0
∴m≥1
∴1≤m<2,∴m的取值范圍為1≤m<2.…(16分)
點(diǎn)評(píng):由極值點(diǎn)可得導(dǎo)數(shù)為0,由導(dǎo)數(shù)為0得到的不一定是極值點(diǎn),若算也的參數(shù)有多個(gè)取值,一定要驗(yàn)證;求函數(shù)值,若是三次函數(shù),一般要用導(dǎo)數(shù)求其最值,本題求參數(shù)的范圍,用的數(shù)形結(jié)合,利用導(dǎo)數(shù)知圖象的大致走向,得出什么樣的圖形才能滿足條件,使問(wèn)題簡(jiǎn)化,注意開(kāi)區(qū)間.
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已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。

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(1)若a1=0,求a2,a3,a4;
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已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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