)如圖所示,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯 

形,∠BAD=∠FAB=90°,BCAD,BEFA,G、H分別為FA、FD的中點.

(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;

(2)C、D、F、E四點是否共面?為什么?

(3)設AB=BE,證明:平面ADE⊥平面CDE.

證明略


解析:

方法一  (1)  由題設知,FG=GA,

FH=HD,所以GHAD.

又BCAD,故GHBC.

所以四邊形BCHG是平行四邊形.

(2)  C、D、F、E四點共面.

理由如下:

由BEAF,G是FA的中點知,

BE GF,所以EF∥BG.

由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面.

又點D在直線FH上,所以C、D、F、E四點共面.

(3)如圖,連接EG,由AB=BE,BEAG及∠BAG=90°知ABEG是正方形,故BG⊥EA.

由題設知,FA、AD、AB兩兩垂直,故AD⊥平面FABE,

因此EA是ED在平面FABE內的射影,根據(jù)三垂線定理,BG⊥ED.

又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.

由(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.

由(2)知CH平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.

方法二  由題設知,FA、AB、AD兩兩互相垂直.

如圖,以A為坐標原點,射線AB為x軸正方向,以射線AD為y軸正方向,

以射線AF為z軸正方向,建立直角坐標系A—xyz.

(1)  設AB=a,BC=b,BE=c,則由題設得

A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),

G(0,0,c),H(0,b,c).

所以,=(0,b,0),=(0,b,0),于是=.

又點G不在直線BC上,

所以四邊形BCHG是平行四邊形.

(2)  C、D、F、E四點共面.

理由如下:由題設知F(0,0,2c),

所以=(-a,0,c),=(-a,0,c),=.

又CEF,H∈FD,故C、D、F、E四點共面.

(3)  由AB=BE,得c=a,

所以=(-a,0,a),=(a,0,a).

=(0,2b,0),因此·=0,·=0.

即CH⊥AE,CH⊥AD.

又AD∩AE=A,所以CH⊥平面ADE.

故由CH平面CDFE,得平面ADE⊥平面CDE.

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