Question

（本小題滿分13分）如圖，三棱柱中，面，,，，為的中點。

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接B1C，交BC1于點O，則O為B1C的中點，要證B1A∥平面 ,只要利用三角形中位線的性質(zhì)證明 即可；

（Ⅱ）由題設(shè)易知 兩兩互相垂直，以C為坐標原點，所在直線為x軸， 所在直線為y軸， 所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設(shè)平面的法向量為 ,結(jié)合平面BDC的法向量為 ,利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值．

試題解析：【解析】
（1）連接B1C，交BC1于點O，則O為B1C的中點，

∵D為AC中點， ∴OD∥B1A 2分

又B1A平面BDC1，OD平面BDC1

∴B1A∥平面BDC1 4分

（也可證明且AB1平面BDC1）

（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1

∴CC1⊥面ABC 則BC⊥平面AC1，CC1⊥AC

如圖以C為坐標原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系， 則C1（0,0,3）B（0,2,0）D（1,0,0）C（0,0,0） 7分

∴設(shè)平面的法向量為，由

得，即，取， 則 9分

又平面BDC的法向量為 10分

cos 11分

又二面角C1—BD—C為銳二面角 12分

∴二面角C1—BD—C的余弦值為 13分

考點：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、利用空間向量解決立體幾何中的夾角問題．