Question

9．如圖，圓O是△ABC的外接圓，AD垂直平分BC并交圓O于D點(diǎn)，直線CE與圓O相切于點(diǎn)C，與AB的延長線交于點(diǎn)E，BC=BE．
（1）求∠DCE的大小；
（2）若AE=1，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠DCE=θ，運(yùn)用圓的弦切角定理和垂直平分線定理，即可得到∠DCE的大�。�
（2）運(yùn)用圓的切割線定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，可得AB的方程，解方程可得所求值．

解答 解：（1）設(shè)∠DCE=θ，
因?yàn)镃E為圓的切線，
所以∠CAD=∠DCE=θ，∠ECB=∠CAB．
由AD垂直平分BC并交圓于點(diǎn)D，
可得∠CAD=∠BAD=θ，∠ECB=∠CAB=2θ，
因?yàn)锽C=BE，所以∠ECB=∠BEC=2θ，
則∠ACB=∠ABC=4θ．
由2θ+4θ+4θ=π，得θ=$\frac{π}{10}$，
即∠DCE的大小為$\frac{π}{10}$．
（2）因?yàn)镃E為圓的切線，所以CE²=BE•AE，
由（1）知∠ACB=∠ABC，可得AB=AC，
∠ECB=∠CAB，∠ECB=∠BEC，
可得AC=CE．
所以AB²=（AE-AB）AE，
由AE=1，可得：
AB²+AB-1=0，
解得AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的弦切角定理、切割線定理的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．