Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$+ax，x＞1．
（1）若函數(shù)f（x）在$x={e^{\frac{1}{2}}}$處取得極值，求a的值；
（2）若方程（2x-m）lnx+x=0在（1，e]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出a的值，檢驗(yàn)即可；
（2）整理得$\frac{x}{lnx}$+2x=m，即函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m在（1，e]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由f（x）=$\frac{x}{lnx}$+2x的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{lnx-1}{{ln}^{2}x}$+a，由題可知${f^/}（{e^{\frac{1}{2}}}）=0⇒a=2$，
經(jīng)檢驗(yàn)a=2，符合題意；
（2）將方程（2x-m）lnx+x=0兩邊同除lnx得（2x-m）+$\frac{x}{lnx}$=0，
整理得$\frac{x}{lnx}$+2x=m，即函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m在（1，e]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
f（x）=$\frac{x}{lnx}$+2x，f′（x）=$\frac{lnx-1+{2ln}^{2}x}{{ln}^{2}x}$，
令f′（x）=0得2ln²x+lnx-1=0，
解得：lnx=$\frac{1}{2}$或lnx=-1（舍），即x=$\sqrt{e}$，
當(dāng)1＜x＜$\sqrt{e}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時(shí)，f′（x）＞0，
可知，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{e}$，e）上單調(diào)遞增，
f（$\sqrt{e}$）=4$\sqrt{e}$，f（e）=3e，當(dāng)x→1時(shí)，$\frac{x}{lnx}$→+∞，∴4$\sqrt{e}$＜m≤3e，
實(shí)數(shù)m的取值范圍為（4$\sqrt{e}$，3e]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．